Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．
（2）若a为任意实数，求函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]的最小值g（a）．
（3）对于函数y=g（a），若存在实数a₀使得g（a）≤g（a₀）成立，求g（a₀）的值及相应a₀的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，区间[-5，5]在二次函数的对称轴的左侧或右侧，从而得-a≥5，或-a≤-5，由此
求得实数a的取值范围．
（2）分区间[-5，5]在二次函数的对称轴的左侧、右侧 以及对称轴在区间中间三种情况，根据二次
函数在[-5，5]上的单调性，求出f（x）的最小值g（a）．
（3）由题意可得，g（a₀）应是g（a）的最大值，根据函数y=g（a）的解析式可得，g（a₀）的值
以及此时a₀的值．

解答：解：（1）由于二次函数f（x）=x²+2ax+2的对称轴为x=-a，要使f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
应有-a≥5，或-a≤-5，解得 a≤-5，或a≥5，故实数a的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）．
（2）当-a≥5时，即a≤-5时，函数在[-5，5]上是减函数，f（x）的最小值g（a）=f（5）=27+10a．
当-a≤-5时，即a≥5 时，函数在[-5，5]上是增函数，f（x）的最小值g（a）=f（-5）=27-10a．
当-5＜-a＜5时，即-5＜a＜5时，f（x）的最小值g（a）=f（-a）=2-a²．
综上可得，g（a）=

27+10a ， a≤-5 27-10a ，  a≥5 2-a 2，  -5＜a＜5

．
（3）对于函数y=g（a），若存在实数a₀使得g（a）≤g（a₀）成立，故g（a₀）应是g（a）的最大值．
由函数y=g（a）=2-a² ，可得，g（a₀）=2，此时，a₀=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的
数学思想，属于中档题．