Question

设|

m

|=1，|

n

|=2，2

m

+

n

与

m

-3

n

垂直，

a

=3

m

-2

n

，

b

=

m

+4

n

，则＜

a

，

b

＞=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：运用向量垂直的条件，即为数量积为0，结合斜率的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，即可计算得到夹角．

解答： 解：设|

m

|=1，|

n

|=2，2

m

+

n

与

m

-3

n

垂直，
则（2

m

+

n

）•（

m

-3

n

）=0，
即2

m

2-3

n

2-5

m

•

n

=0，
即有2-3×4-5

m

•

n

=0，
即

m

•

n

=-2，
|

a

|=

9 m 2+4 n 2-12 m • n

=

9+16+12×2

=7，
|

b

|=

m 2+16 n 2+8 m • n

=

1+16×4-16

=7，

a

•

b

=3

m

2-8

n

2+10

m

•

n

=3-32-20=-49．
则cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=-1，
即有＜

a

，

b

＞=π．
故答案为：π．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．