Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）．
（2）求f（x）单调区间及其对称中心．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简先求解析式f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，根据已知求得ω的值即可；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得f（x）的单调递增区间，令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得f（x）的单调递减区间，令2x-

π

6

=kπ，求得f（x）的对称中心．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵T=π=

2π

2ω

，可解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，故f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，故f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈z．
令2x-

π

6

=kπ，求得x=

kπ

2

+

π

12

，故f（x）的对称中心是（

kπ

2

+

π

12

，

1

2

），k∈z．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．