Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2cos（A+B）=-1，且满足a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根．
（1）求角C的大小和边c的长度；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（1）已知等式表示求出cosC的值，确定出C的度数，由a，b为已知方程的解，利用韦达定理求出a+b与ab的值，利用余弦定理求出c的值即可；
（2）由ab，sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（1）依题意得，2cos（A+B）=2cos（π-C）=-2cosC=-1，
∴cosC=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两个根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=12-4-2=6，
∴c=

6

；
（2）由（1）知C=

π

3

，ab=2，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，韦达定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．