Question

如图，在多面体ECABD中，EC⊥平面ABC，DB∥EC，△ABC为正三角形，F为EA的中点，EC=AC=2，BD=1．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求多面体ECABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）作AC的中点O，连结BO．由已知得四边形FOBD为平行四边形，由此能证明DF∥面ABC．
（Ⅱ）过点A作AH⊥BC于H，由已知得平面ECBD⊥平面ABC，AH⊥面ECBD，由此能求出多面体ECBD的体积．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：作AC的中点O，连结BO．
在△AEC中，FO

∥

.

1

2

EC，又据题意知，BD

∥

.

1

2

EC．
∴FO

∥

.

BD，∴四边形FOBD为平行四边形．
∴DF∥OB，又DF?面ABC，OB?平面ABC．
∴DF∥面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解：据题意知，多面体ECABD为四棱锥A-ECBD．
过点A作AH⊥BC于H．
∵EC⊥平面ABC，EC?平面ECBD，
∴平面ECBD⊥平面ABC．
又AH⊥BC，AH?平面ABC，平面ECBD∩平面ABC=BC，
∴AH⊥面ECBD．
∴在四棱锥A-ECBD中，底面为直角梯形ECBD，高AH=

3

．
∴V_A-ECBD=

1

3

×

(2+1)×2

2

×

3

=

3

．
∴多面体ECBD的体积为

3

．…（6分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．