Question

在圆C₁：x²+y²=1上任取一点P，过P作y轴的垂线段PD，D为垂足，动点M满足

MD

=2

MP

，当点P在圆C₁上运动时，点M的轨迹为曲线C₂
（1）求曲线C₂的方程
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且点T在圆C₁上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），D（0，y₀）．则

x

2 0

+

y

2 0

=1．由于

MD

=2

MP

，可得

-x=2(x0-x) y0-y=2(y0-y)

，化为

x0=x y0=y

代入点P的轨迹方程即可．
（1）假设存在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且点T在圆C₁上．设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与曲线C₂方程联立化为（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，利用△＞0，化为k2＜

1

3

．利用向量运算、根与系数的关系可得x_T=

5

5

×

4k2

1+k2

，y_T=

5

5

×

-4k

1+k2

．代入 圆C₁，解出即可．

解答： 解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），D（0，y₀）．则

x

2 0

+

y

2 0

=1．
∵

MD

=2

MP

，
∴

-x=2(x0-x) y0-y=2(y0-y)

，化为

x0=x y0=y

∴点M的轨迹为曲线：x²+y²=1．
（2）假设存在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且点T在圆C₁上．
设直线l的方程为：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-2) x2+y2=1

，化为（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，
△＞0，化为k2＜

1

3

．
∴x₁+x₂=

4k2

1+k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=

4k3

1+k2

-4k=

-4k

1+k2

，
∴

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

）=

5

5

(x1+x2，y1+y2)，
∴x_T=

5

5

×

4k2

1+k2

，y_T=

5

5

×

-4k

1+k2

．
代入 圆C₁，可得

1

5

(

4k2

1+k2

)2+

1

5

(

-4k

1+k2

)2=1，
化为11k⁴+6k²-5=0，
解得k2=

5

11

＞

1

3

．
因此不存在过点A（2，0）的直线l交曲线C₂于点B，使

OT

=

5

5

（

OA

+

OB

），且点T在圆C₁上．

点评：本题考查了圆的方程、直线与圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．