Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）若E为棱CC₁的中点，求证：AC₁∥平面BED；
（3）当

CE

CC1

的值为多少时，二面角A₁-BD-E为直二面角？请给出证明．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD，由已知得AC⊥BD，AA₁⊥BD，从而BD⊥平面ACC₁A₁，由此能证明A₁E⊥BD．
（2）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面BED．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出

CE

CC1

=

1

2

时，二面角A₁-BD-E为直二面角．

解答： （1）证明：连结AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥BD，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁E?平面ACC₁A₁，∴A₁E⊥BD．
（2）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是CC₁中点，∴OE∥AC₁，
∵OE?平面BED，AC₁?平面BED，
∴AC₁∥平面BED．
（3）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，CF=t（0≤t≤1），
A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，t），

A1B

=（1，0，-1），

A1D

=（0，1，-1），
设平面A₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1B =x-z=0 n • A1D =y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），

BD

=（-1，1，0），

BE

=（0，1，t），
设平面BED的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BE =b+tc=0 m • BD =-a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，1，-

1

t

），
∵二面角A₁-BD-E为直二面角，
∴

m

•

n

=1+1-

1

t

=0，解得t=

1

2

，
∴CF=

1

2

，∴

CE

CC1

=

1

2

时，二面角A₁-BD-E为直二面角．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查使二面角为直二面角的线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．