Question

直角三角形ABC的直角顶点A为动点，B（-

3

，0）C（

3

，0），作AD⊥BC于D，动点E满足

.

AE

=（1-

3

3

） 

.

AD

，当动点A运动时，点E的轨迹为曲线G，
（1）求曲线A的轨迹方程；
（2）求曲线G的轨迹方程；
（3）设直线L与曲线G交于M、N两点，坐标原点O到直线L的距离为

3

2

，求|MN|的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由圆的性质可得：直角三角形ABC的直角顶点A的轨迹为圆．
（2）设E（x，y），A（x₀，y₀），则D（x₀，0），由于动点E满足

.

AE

=（1-

3

3

）

.

AD

，可得

x-x0=0 y-y0= 3- 3 3 (-y0)

，解得x₀=x，y₀=

3

y，代入曲线A的轨迹方程即可得出．
（3）当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为：x=±

3

2

，|MN|=

3

．
当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由于坐标原点O到直线L的距离为

3

2

，可得

|m|

1+k2

=

3

2

．直线方程与椭圆的方程联立化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，利用根与系数的关系、弦长公式、基本不等式的性质即可得出|MN|的最大值．

解答： 解：（1）直角三角形ABC的直角顶点A的轨迹为圆：x²+y²=3(x≠±

3

)；
（2）设E（x，y），A（x₀，y₀），则D（x₀，0），

x

2 0

+

y

2 0

=3，
∵动点E满足

.

AE

=（1-

3

3

）

.

AD

，
∴

x-x0=0 y-y0= 3- 3 3 (-y0)

，解得x₀=x，y₀=

3

y，
代入曲线A的轨迹方程可得x²+3y²=3，化为

x2

3

+y2=1(x≠±

3

)．
（3）当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为：x=±

3

2

，|MN|=

3

．
当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵坐标原点O到直线L的距离为

3

2

，
∴

|m|

1+k2

=

3

2

，化为4m²=3+3k²．
联立

y=kx+m x2+3y2=3

，化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
则x₁+x₂=

-6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

．
又4m²=3+3k²．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2m2 (1+3k2)2 - 4(3m2-3) 1+3k2 ]

=

3+ 12 1 k2 +9k2+6

≤

3+ 12 6+6

=2，当且仅当k2=

1

3

时取等号．
综上可得：|MN|的最大值为2．

点评：本题考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其性质、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．