Question

与抛物线y²=8x相切倾斜角为135⁰的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线y²=8x的准线所得的弦长为（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知设出切线方程为x+y+c=0，联立抛物线方程后，可得c值，进而可得A、B两点的坐标，及过A、B两点的最小圆的方程，最后由勾股定理求出弦长．

解答： 解：由切线的倾斜角为135°，可设切线方程为x+y+c=0，
代入y²=8x得：y²+8y+8c=0，
由△=64-32c=0得c=2，
故切线方程为x+y+2=0，
故A，B两点的坐标分别为（-2，0），（0，-2），
则过AB两点最小的圆为（x+1）²+（y+1）²=2，
由圆心（-1，-1）到抛物线y²=8x准线x=-2的距离为1，
故过A、B两点的最小圆截抛物线y²=8x的准线所得的弦长为2

2 2-1

=2，
故选：C

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线的方程，直线与圆的位置关系，难度中档．