Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^-x，设函数f（x）的值域为集合A．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和集合A；
（Ⅱ）设函数g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定义域为集合B，且A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,交集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知的函数解析式结合函数为偶函数求得函数在x＜0时的解析式，则函数在整个定义域中的解析式可求；
（Ⅱ）把函数g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定义域包含集合A转化为对于任意的x∈[0，1]，-x²+（a-1）x+a＞0恒成立，由此列不等式组求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，由f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=2^x．
∴f(x)=

2-x，x≥0 2x，x＜0

．
由f（x）=2^-x，x≥0，得f（x）∈（0，1]．
由f（x）=2^x，x＜0，得f（x）∈（0，1）．
∴函数f（x）的值域集合A=[0，1]；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定义域为集合B，且A⊆B，
说明对于任意的x∈[0，1]，-x²+（a-1）x+a＞0恒成立．
即

a＞0 -12+(a-1)×1+a＞0

，解得：a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了函数解析式的求法，训练了转化思想方法在解题中的应用，是中档题．