Question

双曲线C与椭圆

x2

36

+

y2

27

=1有相同焦点，且经过点（4，

15

）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若F₁，F₂是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线的方程，代入点的坐标，解方程即可得到双曲线的方程；
（2）运用余弦定理和双曲线的定义及面积公式，即可计算得到所求面积．

解答： 解：（1）椭圆的焦点坐标为（-3，0），（3，0），
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

9-a2

=1，
又因为双曲线过点（4，

15

），则

16

a2

-

15

9-a2

=1，
即有a⁴-40a²+144=0，
解得a²=4或a²=36（舍去）
所以双曲线的方程为

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF1|•|PF₂|•cos60°=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|
又|F₁F₂|²=4c²=36，（|PF₁|-|PF₂|）²+|=4a²=16，
则|PF₁|•|PF₂|=20，
则S△F1PF2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin60°=

1

2

×20×

3

2

=5

3

．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的定义，同时考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．