Question

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，PA=4

2

．
（I）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面ABC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）过点A作AD⊥PC，交PC于点D，由BC⊥平面PAC，得AD⊥平面PBC，从而∠APD是直线PA与平面PBC所成的角，由此能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面ABC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：过点A作AD⊥PC，交PC于点D，
由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴∠APD是直线PA与平面PBC所成的角，
在Rt△PAC中，PA=4

2

，AC=4，PC=4

3

，
∴sin∠APD=

AC

PC

=

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．