Question

3．在数列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{2}$，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N⁺），设b_n=a_n+n．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-a_n，P_n为数列{$\frac{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}+1}{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}}$}的前n项和，求不超过P₂₀₁₅的最大的整数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式即可证明，
（Ⅱ）利用错位相减法即可求出，
（Ⅲ）利用裂项求和即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N⁺），
∴2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴2b_n=b_n-1，
∵b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴nb_n=n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+3×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n，
∴c_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-a_n=n，
∴$\frac{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}+1}{{c}_{n}^{2}+{c}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴p_n=n+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=n+1-$\frac{1}{n+1}$，
∴p₂₀₁₅=2016-$\frac{1}{2016}$＜2016，
故不超过P₂₀₁₅的最大的整数2016．

点评 本题考查了数列的通项公式公式的求法和错位相减法求和和裂项求和，属于中档题．