Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
（1）求cosβ的值；            
（2）求cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）的值，利用诱导公式，二倍角公式即可解得得解．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，利用α+$\frac{β}{2}$=（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）两角差的正弦函数公式可求sin（α+$\frac{β}{2}$）的值，进而利用二倍角的余弦函数公式可求cos（2α+β）的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$＜0，
∴sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=-$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β）=sin[2（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=2×$（-\frac{1}{3}）×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$…6分
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{β}{2}$）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）$=1，
∴cos（2α+β）=cos[2（α+$\frac{β}{2}$）]=1-2sin²（α+$\frac{β}{2}$）=1-2×1²=-1…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．