Question

请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时，帐篷的体积为16

3

？

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,组合几何体的面积、体积问题

专题：空间位置关系与距离

分析：设OO₁为xm，则1＜x＜4，设题设可得正六棱锥底面边长为

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，从而帐篷的体积为V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，由此利用导数性质能求出当OO₁为2m时，帐逢的体积最大，为16

3

m³．

解答： 解：设OO₁为xm，则1＜x＜4，
设题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，
于是底面正六边形的面积为（单位：m²）
6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

2 3

2

(8+2x-x2)，
帐篷的体积为（单位：m³）
V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，
求导数，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)，
令V′（x）=0，解得x=-2（不合题意，舍去），x=2
当1＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）为增函数，
当2＜x＜4时，V′（x）＜0，V（x）为减函数
所以当x=2时，V（x）最大，
此时V（x）=

3

2

(16+12x-x3)=16

3

．
故当OO₁为2m时，帐逢的体积最大，为16

3

m³．

点评：本题考查当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时，帐篷的体积为16

3

的求法，是中档题，解题时要注意几何体体积的求法和导数性质的合理运用．