Question

（本小题满分14分）已知函数
（I）求函数在上的最小值；
（II）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（III）求证：对一切，都有

Answer 1

（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，
当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．                ……2分
①0＜t＜t＋2＜，t无解；
②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）_min＝f （）＝－；
③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）_min＝．                                                ……5分
（II）2xlnx≥－x²＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，                           ……6分
设h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），则h′（x）＝，x∈（0，1），h′（x）＜0，h （x）单调递减，
x∈（1，＋∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h （x）_min＝h （1）＝4，
因为对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g （x）恒成立，
所以a≤h （x）_min＝4．……10分
（III）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到．    
设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，
易得m （x）_max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，
从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．                         ……14分

略