Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，

x	﹣1	0	4
f（x）	1	2	2

f（x）的导函数y=f′（x）的图象（该图象关于（2，0）中心对称） 如图所示．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为 0与4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③函数y=f（x）﹣a零点的个数可能为0、1、2、3、4个；
④如果当时x∈[﹣1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．
⑤函数f（x）的图象在a=1是上凸的
其中一定正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】①②④解：对于①，∵由导函数的图象知，函数f（x）的最大值点为0与4，故①正确；
对于②，由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；
对于③，由导函数y=f′（x）的图象可知，函数在[﹣1，0]，[2，4]上为增函数，
则[0，2]，[4，5]上为减函数，且函数在x=0和x=4取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
在x=2取得极小值f（2）=0，则函数f（x）的大致图象如图：则函数y=f（x）与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个，即③错误
对于④，由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即④正确；
对于⑤，根据函数f（x）的大致图象，判断⑤错误；
所以答案是：①②④．

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．