Question

椭圆的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形

（1）求椭圆M的方程；

（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；

（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）详见解析；（3）最小值为

【解析】

试题分析：（1）依题意有，再加上，解此方程组即可得的值，从而得椭圆 的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合

利用（1）所得椭圆方程，联立方程组消去得：，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段的中点为 同理可得线段的中点为，由于中点重合，所以，解得：或(舍)这说明和都过原点即相交于原点（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为由方程组易得点A的坐标（用表示），从而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值

试题解析：（1）依题意有，又因为，所以得

故椭圆的方程为 3分

（2）依题意，点满足

所以是方程的两个根

得

所以线段的中点为

同理，所以线段的中点为 5分

因为四边形是平行四边形，所以

解得，或(舍)

即平行四边形的对角线和相交于原点 7分

（3）点满足

所以是方程的两个根，即

故

同理， 9分

又因为，所以，其中

从而菱形的面积为

，

整理得，其中 10分

故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为 12分

考点：直线与圆锥曲线的位置关系