Question

已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），离心率为e=

3

2

，过点P作斜率为k₁，k₂的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若k₁•k₂=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组解出a、b之值，即可得到椭圆的方程；
（2）由题意得直线PA方程为y=k₁x-2，与椭圆方程消去y得到关于x的方程，解出A点坐标含有k₁的式子，同理得到B点坐标含有k₂的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k₁k₂=2化简整理，可证出AB方程当x=0时y=-6，由此可得直线AB必过定点Q（0，-6）．

解答：解：（1）∵椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），
∴设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得a=2，且e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，解之得b=1，
∴椭圆的方程为：

y2

4

+x2=1；
（2）由题意，可得直线PA方程为y=k₁x-2，与椭圆方程消去y，
得（1+

1

4

k12）x²-k₁x=0，解之得x=0或x=

4k1

4+k12

由P的坐标为（0，-2），得A（

4k1

4+k12

，k₁•

4k1

4+k12

-2），即（

4k1

4+k12

，

2k12-8

4+k12

）
同理可行B的坐标为（

4k2

4+k22

，

2k22-8

4+k22

），
结合题意k₁•k₂=2，化简得B（

2k1

1+k12

，

2(1-k12)

1+k12

）
因此，直线AB的方程为

y- 2k12-8 4+k12

2(1-k12)  1+k12 - 2k12-8 4+k12

=

x- 4k1  4+k12

2k1  1+k12 - 4k1  4+k12

，
化简得y-

2k12-8

4+k12

=

2(k12+2)

k1

（x-

4k1

4+k12

），
令x=0得y=

2k12-8

4+k12

-

8k12+16

4+k12

=

-6k12-24

4+k12

=-6，由此可得直线AB过定点定点Q（0，-6）．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求它的方程并证明直线经过定点．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．