Question

已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知，方程）=x++b=3x+1有且仅有一个解x=2，
因为x≠0，故原方程可化为2x²+（1-b）x-a=0，
所以，…解得a=-8，b=9．
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．
证明：设x₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+-x₁-=（x₂-x₁）•，
因为x₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0．
所以f（x）在（，+∞）上是增函数．
（3）因为f（x）≤10，故x∈[，1]时有f（x）_max≤10，
由（2），知f（x）在区间[，1]的最大值为f（）与f（1）中的较大者．
所以，对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，当且仅当，
即对任意的a∈[，2]成立．
从而得到b≤． 
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，]． 

分析：（1）依题意，原方程可化为2x²+（1-b）x-a=0，由即可解得a、b的值；
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；利用定义证明时，先设x₁，x₂∈（，+∞），且x₁＜x₂，再作差f（x₂）-f（x₁）后化积讨论即可；
（3）依题意得，可解得到b≤，从而可得实数b的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．