Question

14．函数y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x的值域为[-4，$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 利用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．

解答 解：函数y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x，
令：x=2cosα，[0，π]，则函数y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x转化为：y=sinα+4cosα；
化简得：y=$\sqrt{17}$sin（α+φ），sinφ=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，
∵$\frac{π}{2}$＞φ＞0，
∴当α=π时，π＜α+φ＜$\frac{3}{2}$π．
故得y=$\sqrt{17}$sin（α+φ）=-$\sqrt{17}$×sinφ=-4．
当α+φ=$\frac{π}{2}$时，y取得最大值$\sqrt{17}$．
故得函数y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$+2x的值域为[-4，$\sqrt{17}$]；
故答案为：[-4，$\sqrt{17}$]；

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．