Question

10．已知数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），其前n项和为S_n．若数列{a_n}是一个首项为a，公比为q的等比数列，且G_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，请证明数列{a_n²}也是等比数列，并求$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$的解析式．

Answer 1

分析 通过数列{a_n}是一个首项为a，公比为q的等比数列可知a_n=a•q^n-1，利用$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=q²可知数列{a_n²}是以a²为首项、q²为公比的等比数列；分q是否为1两种情况分别计算出两个等比数列的前n项和，进而计算可得结论．

解答 证明：∵数列{a_n}是一个首项为a，公比为q的等比数列，
∴a_n=a•q^n-1，当q≠1时S_n=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$、当q=1时S_n=na，
∴${{a}_{n}}^{2}$=a²•q^2n-2，
又∵$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}•{q}^{2（n+1）-2}}{{a}^{2}•{q}^{2n-2}}$=q²，
∴数列{a_n²}是以a²为首项、q²为公比的等比数列；
∴当q≠1时G_n=$\frac{{a}^{2}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$、当q=1时G_n=na²，
∴当q≠1时，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\frac{\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}^{2}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}}$=$\frac{1+q}{a（1+{q}^{n}）}$；
当q=1时，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\frac{na}{n{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$；
综上所述，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}，}&{q=1}\\{\frac{1+q}{a（1+{q}^{n}）}，}&{q≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的判定及其性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．