Question

2．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n变形可知S_n=$\frac{n}{n+2}$a_n+1，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算、整理得$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=2$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、2为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=2^n-2，进而可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n∈N^*），
∴S_n=$\frac{n}{n+2}$a_n+1，
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{n-1}{n+1}$a_n，
∴a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{n}{n+2}$a_n+1-$\frac{n-1}{n+1}$a_n，
整理得：$\frac{n}{n+2}$a_n+1=$\frac{2n}{n+1}$a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{n+2}$=2$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{2}•{2}^{n-1}$=2^n-2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（n+1）•2^n-2．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．