Question

17．设函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2015）＞e²⁰¹⁵f（0）
• B． f（2）＞e²f（0），f（2015）＜e²⁰¹⁵f（0）
• C． f（2）＜e²f（0），f（2015）＜e²⁰¹⁵f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），g（2015）＞e²⁰¹⁵f（0）

Answer 1

分析 求F（x）的导数F'（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断函数F（x）的单调性，通过单调性得出F（0）＞F（2），F（0）＞F（2015）．

解答 解：F'（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$
∵f′（x）＜f（x）
∴F'（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0
∴F（x）在R上递减
∴F（0）＞F（2），F（0）＞F（2015）
∴f（0）＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，f（0）＞$\frac{f（2015）}{{e}^{2}}$
∴f（2）＜e²f（0），f（2015）＜e²⁰¹⁵f（0）
故选C

点评 考察了利用导函数判断函数单调性，属于常规题型，应熟练掌握．