Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF₂并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F₁C．
（1）若点C的坐标为（

4

3

，

1

3

），且BF₂=

2

，求椭圆的方程；
（2）若F₁C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐标，利用F₁C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．

解答： 解：（1）∵C的坐标为（

4

3

，

1

3

），
∴

16 9

a2

+

1 9

b2

=1，即

16

a2

+

1

b2

=9，
∵B

F

2 2

=b2+c2=a2，
∴a²=（

2

）²=2，即b²=1，
则椭圆的方程为

x2

2

+y²=1．
（2）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF₂：y=-

b

c

x+b，代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）得（

1

a2

+

1

c2

）x²-

2

c

x=0，
解得x=0，或x=

2a2c

a2+c2

，
∵A（

2a2c

a2+c2

，

b(c2-a2)

a2+c2

），且A，C关于x轴对称，
∴C（

2a2c

a2+c2

，-

b(c2-a2)

a2+c2

），
则kF1C=-

b(c2-a2) a2+c2

2a2c a2+c2 +c

=

a2b-bc2

3a2c+c3

，
∵F₁C⊥AB，
∴

b(a2-c2)

3a2c+c3

•×（-

b

c

）=-1，
由b²=a²-c²得

c2

a2

=

1

5

，
即e=

5

5

．

点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．