Question

【题目】已知函数．

（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．

Answer 1

【答案】（1） ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值，最小值-1；

【解析】

(1)由题意可得，x≠0，然后检验f(-x)与f(x)的关系即可判断；

(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可求函数f(x)在区间[1，4]上的最大值f(4)，最小值f(1)．即可求解．

(1)由题意可得，x≠0，故定义域为

∵f(-x)=-ax+=-f(x)，

∴f(x)为奇函数；

(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，

∴a=1，f(x)=x-，

设0＜x1＜x2，

则f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(1+)，

∵0＜x1＜x2，

∴x1-x2＜0，1+＞0，

∴(x1-x2)(1+)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在(0，+∞)上的单调递增，

∴函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为f(4)=，最小值为f(1)=-1．