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设椭圆C:(a〉b>0)的左焦点为,椭圆过点P(
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点D(l,0),直线l:与椭圆C交于A、B两点,以DA和DB为邻边的四边形是菱形,求k的取值范围.
解 (1)由题意知,b2 = a2-3,由得 2a4-11a2 + 12 = 0,
所以(a2-4)(2a2-3)= 0,得 a2 = 4或(舍去),
因此椭圆C的方程为.                     ……………… 4分
(2)由 得
所以4k2 + 1>0,
得 4k2 + 1>m2.               ①                      ……………… 6分
Ax1y1),Bx2y2),AB中点为Mx0y0),

于是
设菱形一条对角线的方程为,则有 x =-ky + 1.
将点M的坐标代入,得 ,所以.    ②
将②代入①,得
所以9k2>4k2 + 1,解得 k. ……………… 12分
法2:
则由菱形对角线互相垂直,即直线l垂直,由斜率的负倒数关系可整理得,即-3km = 4k2 + 1,即, 代入①即得.
法3: 设Ax1y1),Bx2y2),AB中点为Mx0y0),
,于是,两式相减可得
x0 + 4ky0 = 0.     ①              
因为 QDAB,所以 .        ②
由①②可解得 ,表明点M的轨迹为线段).
k∈(,+∞);当k∈(-∞,).
综上,k的取值范围是k
练习册系列答案
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