Question

已知函数f（x）=

a

2

x2-lnx，a∈R
（1）若a=1，求f（x）的单调递增区间；
（2）若任意x∈（0，e]，函数g（x）=

a

2

x2-lnx-

1

2

的值恒为正值，求a的范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调递增区间；
（2）分离参数求最值，即可求a的范围．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴f(x)=

x2

2

-lnx，
∴x∈（0，+∞），f′(x)=x-

1

x

，
令f′（x）=0，则x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
（2）g（x）=

a

2

x2-lnx-

1

2

的值恒为正值，可得a＞

2lnx+1

x2

令h（x）=

2lnx+1

x2

，则h′（x）=

-2lnx

x4

，
∴x∈（0，1]，h′（x）＞0，x∈[1，e]，h′（x）＜0
∴x=1时，h（x）取得最大值1，
∴a＞1．

点评：本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法需要理解掌握并运用．