Question

已知角α，β为锐角，且cos（α+β）sinβ=sinα，则tanα的最大值是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tanα•tan²β-tanβ+tanα=0，再根据△=1-8tan²α≥0，求得tanα的最大值．

解答： 解：角α，β为锐角，且cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
∴cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
化简可得 tan（α+β）=2tanβ，即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanβ，
故有 2tanα•tan²β-tanβ+tanα=0，∴△=1-8tan²α≥0，
求得-

2

4

≤tanα≤

2

4

，α为锐角，故0＜tanα≤

2

4

，
故答案为：

2

4

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．