Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由f（1+x）=f（1-x）以及函数的奇偶性得到f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a-f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，
即函数f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，
∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，
当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，此时f（-x）=-2x，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=-2x=f（x），
即f（x）=-2x，-1≤x≤0，
作出函数f（x）和g（x）的图象，
当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=2，解得a=

2

3

当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=

2

5

，
要使在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，
则

2

5

＜a＜

2

3

，
故答案为：

2

5

＜a＜

2

3

点评：本题主要考查方程根的公式的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．