Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sin2C，cos（A+B）），且

m

•

n

=0．
（Ⅰ）若a=4，c=

13

，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若A=

π

3

，cosB＞cosC，求

AB

•

BC

-2

BC

•

CA

-3

CA

•

AB

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、余弦定理即可得出；
（II）利用余弦函数的单调性、三角形的内角和定理可得B，C，利用直角三角形的边角关系、数量积定义即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由

m

•

n

=0得sin2C+

3

cos(A+B)=0且A+B+C=π，
∴2sinCcosC-

3

cosC=0，∴cosC=0或

3

2

，
∵c＜a，∴只能去sinC=

3

2

，则C=

π

3

．
由余弦定理c²=a²+b²-2ab•cosC，
∴13=16+b2-8b•cos

π

3

，
化为b²-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=3时，S=

1

2

ab sinC=

1

2

×4×3×sin

π

3

=3

3

．
当b=1时，S=

1

2

ab sinC=

1

2

×4×1×

3

2

=

3

．
（Ⅱ）由cosB＞cosC，可得C＞B，又A=

π

3

，
∴取cosC=0，解得C=

π

2

，∴B=

π

6

．
由a=

3

b，得

AB

•

BC

-2

BC

•

CA

-3

CA

•

AB

=

AB

•

BC

-3

CA

•

AB

=ac•cos

5π

6

-3bc•cos

2π

3

=-

3

2

ac+

3

2

bc=0．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、余弦定理、余弦函数的单调性、三角形的内角和定理、直角三角形的边角关系、数量积定义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．