Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的长度单位．曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设过点P（2，0），倾斜角为

π

6

的直线l与曲线C交于A、B两点，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）把极坐标方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y²=4x，利用韦达定理求得t₁+t₂和t₁t₂的值，可得|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

和|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|的值，即可求得 

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

的值．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得 （ρsinθ）²=4ρcosθ，
所以曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t²-8

3

t-32=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=8

3

，t₁t₂=-32．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

=8

5

，|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|=32，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

=

5

4

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程、参数的意义，属于基础题．