Question

已知a、b、c为△ABC的三边，
（1）acosA=bcosB，判断△ABC的形状； 
（2）△ABC的面积为12

3

，bc=48，b-c=2，求a．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理化简可得sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

π

2

，由此可得结论．
（2）由

b-c=2 bc=48

，解得bc的值，再根据S_△ABCC=12

3

求出sinA=

3

2

，可得cosA=±

1

2

，再利用余弦定理求得a．

解答： 解：（1）△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π-2B，∴A=B或A+B=

π

2

，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
（2）解法一：由

b-c=2 bc=48

，解得

b=8 c=6

．
又∵S_△ABCC=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×6sinA=12

3

，∴sinA=

3

2

，∴cosA=±

1

2

．
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=64+36-2×8×6×（±

1

2

）=100±48，
∴a=2

13

或2

37

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．