Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1）截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．证明：
（1）平面PQEF⊥平面PQGH；
（2）截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明PH⊥平面PQEF，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PQEF⊥平面PQGH；
（2）由（1）知，PF=

2

AP，PH=

2

PA/，即可证明截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个定值．

解答： 证明：（1）在正方体中AD′⊥A′D，AD′⊥AB，
又由已知可得PF∥A′D，PH∥AD′，PQ∥AB，
所以PH⊥PF，PH⊥PQ，
因为PF∩PQ=P，
所以PH⊥平面PQEF，
又PH?平面PQEF，
所以平面PQEF⊥平面PQGH．
（2）由（1）知，PF=

2

AP，PH=

2

PA/，
又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
所以截面PQEF和截面PQGH的面积之和为(

2

AP+

2

PA/)×PQ=

2

是定值．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．