Question

在已知数列{a_n}中，a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{lg（a_n+1）}为等比数列；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1，设数列{b_n}的前n项积为T_n，即T_n=（a₁+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记C_n=

lgTn+1

[lg(an+1+1)-1][lg(an+2+1)-1]

，设数列{C_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜1．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得an+1+1=(an+1)2，两边取对数，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），由此能证明数列{lg（a_n+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(an+1)=2n-1，从而lgT_n=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1），由此求出lgT_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）由C_n=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂项求和法能求出数列{C_n}的前n项和．

解答： （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴an+1=an2+2an，∴an+1+1=(an+1)2，
对an+1+1=(an+1)2两边取对数，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
∵a₁=9，∴lg（a₁+1）=lg10=1，
∴数列{lg（a_n+1）}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知lg(an+1)=2n-1，
T_n=（a₁+1）…（a_n+1），
∴lgT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）
=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（Ⅲ）证明：C_n=

lgTn+1

[lg(an+1+1)-1][lg(an+2+1)-1]

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
S_n=（

1

2-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+（

1

23-1

-

1

24-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＜1．
∴S_n＜1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．