Question

已知函数f（x）=ae^x+

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x²+bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y-1=0．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若f（x）≥

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x²+x+m，求m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数的表达式，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=ae^x+x+b，
∵直线y-1=0的斜率为0，且过点（0，1），
∴

f(0)=1 f′(0)=0

，即

a=1 a+b=0

，解得a=1，b=-1．
∴f（x）的解析式为f（x）=e^x+

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x²-x，
∵f′（x）=e^x+x-1，
∴当x＜0时，f′（x）=e^x+x-1＜0，此时函数单调递减，
当x＞0时，f′（x）=e^x+x-1＞0，此时函数单调递增，
即函数的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
（2）若f（x）≥

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x²+x+m，
即e^x+

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x²-x≥

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x²+x+m，
得e^x-2x≥m，
设g（x）=e^x-2x，则g′（x）=e^x-2，
当x＜ln2时，g′（x）=e^x-2＜0，此时函数单调递减，
当x＞ln2时，g′（x）=e^x-2＞0，此时函数单调递增，
∴函数g（x）有最小值g（ln2）=2-2ln2，
故m≤2-2ln2，即m的最大值为2-2ln2．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系，进行求导是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．