Question

已知函数f（x）=a-

1

x

，且f（1）=0
（1）求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（1）=0，即可求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是增函数．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，∴f（1）=a-1=0，解得a=1，即a的值为1；
（2）∵f（x）=a-

1

x

，
∴设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

1

x1

-a+

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数值的计算以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．