Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l₁与l₂，l₁的斜率为2，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．

Answer 1

分析：（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C₁截得的弦长为2

3

，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（II）根据题意，可以设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，分析可得圆C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，即可以得到一个关于a、b的方程，整理变形可得答案．

解答：解：（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C₁不相交，
故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-4），
即kx-y-4k=0圆C₁圆心（-3，1）到直线的距离d=

|-3k-1-4k|

1+k2

，
直线l被圆C₁截得的弦长为2

3

，则d=

22-( 3 )2

=1，
联立以上两式可得k=0或k=-

7

24

，
故所求直线l方程为y=0或y=-

7

24

(x-4)．

（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l₁：y-b=2（x-a），l₂：y-b=-

1

2

(x-a)，
因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，
故圆C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，
即

|-6-1-2a+b|

5

=

|4+10-2b-a|

5

，
解得：a-3b+21=0或3a+b-7=0．

点评：在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．