Question

已知函数f（x）=x²-2x+3（x∈R）
（1）写出函数f（x）的单调增区间，并用定义加以证明．
（2）设函数f（x）=x²-2x+3（2≤x≤3）试利用（1）的结论直接写出该函数的值域（用区间表示）．

Answer 1

分析：（1）先写出函数的单调增区间为对称轴的右侧，再用定义进行证明，关键是作差、变形定号；
（2）利用f （x）在[2，3]上是增函数，即可得到结论．

解答：解：（1）f （x）的单调增区间为[1，+∞）
下面用定义证明：设x₁、、x₂是[1，+∞）上任意两个值，且x₁＜x₂
则f （x₁）-f （x₂）=x12-2x₁+3-（x22-2x₂+3）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0
∴∴f （x₁）-f （x₂）＜0
∴f （x₁）＜f （x₂）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f （x）在[2，3]上是增函数
∴2≤x≤3时，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域为[2，6]．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于基础题．