Question

【题目】已知定义在区间[﹣ ，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称，当x≥ 时，函数y=sinx．
（1）求f（﹣ ），f（﹣ ）的值；
（2）求y=f（x）的表达式
（3）若关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为Ma ， 求Ma的所有可能取值及相应a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（﹣ ）=f（π）=sinπ=0，

f（﹣ ）=f（ ）=sin =

（2）解：设﹣ ，则 ，

∴f（x）=f（ ）=sin（ ）=cosx，

∴f（x）=

（3）解：作函数f（x）的图象如下：

显然，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]．

① 若0 ，f（x）=a有两解，Ma= ；

②若a= ，f（x）=a有三解，Ma= ；

③若 ＜a＜1，f（x）=a有四解，Ma=π；

④若a=1，f（x）=a有两解，Ma= ；

综上所述，当0≤a＜ 或a=1时，f（x）=a有两解，Ma= ；

当a= 时，f（x）=a有三解，Ma= ；

当 时，f（x）=a有四解，Ma=π

【解析】（1）由题意可求f（﹣ ）=f（π）=sinπ=0，f（﹣ ）=f（ ）=sin = ．（2）设﹣ ，则 ，由f（x）=f（ ）=sin（ ）=cosx，即可解得分段函数的解析式f（x）= ．（3）作函数f（x）的图象，若f（x）=a有解，则a∈[0，1]，分情况讨论即可得解．