Question

（本小题满分15分）
如图，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于两点，的面积为，的周长为．

（1）求椭圆的方程；
（2）设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 由题意知：，解得
∴ 椭圆的方程为                             ………  6分
（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切，
则 到直线的距离相等,
：     
：                        ………  8分
          ………  9分
化简整理得：                ………  10分
∵ 点在椭圆上，∴
解得： 或 （舍）                     …… 13分
时，，，
∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以为圆心的圆相切                 ……… 15分

略