Question

已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得1=2x+3，故x=-1
函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点为（-1，0）
将切点坐标代入函数f（x）=x+b可得b=1
（或：依题意得f（x））=g（x），
即x²+2x+2-b=0有唯一实数解
故△=2²-4（2-b）=0，即b=1
∴F（x）=（x+1）（x²+2x+2）=x³+4x²+5x+2
故F′（x）=0，解得x=-1或x=-．
列表如下：

从上表可知处取得极小值．
（2）由（1）可知涵数y=F（x）大致图象如图所示．
作函数y=k的图象，当y=F（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时，
关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．结合图形可知．

分析：（1）令f′（x）=g′（x），进而求得x，进而可知函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点，把切点代入f（x）求得b，进而求得函数F（x）的解析式，进而对函数进行求导，使其为0求得x，进而推断出函数F（x）的极大值和极小值．
（2）首先根据（1）中函数F（x）的单调性画出函数的草图，作函数y=k的图象，进而根据当y=F（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时，关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．最后根据图象确定k的范围．
点评：本题主要考查了函数与方程的应用，导函数求函数极值．考查了学生综合分析问题和解决的能力．