Question

17．设F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°，|PF₁|＜|PF₂|．求：
（1）|PF₁|的值；
（2）△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设|PF₁|=x，|PF₂|=y，0＜x＜y；根据双曲线的定义与性质，列出方程组，求出x、y的值；
（2）由（1）得|PF₁|与|PF₂|的值，即可求出Rt△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）设|PF₁|=x，|PF₂|=y，且0＜x＜y；
根据双曲线的定义知，x-y=-4①，
又∠F₁PF₂=90°，
∴x²+y²=4c²=4×（4+4）②；
由①②组成方程组，解得
x=2$\sqrt{3}$-2，y=2$\sqrt{3}$+2，
即|PF₁|=x=2$\sqrt{3}$-2，
|PF₂|=y=2$\sqrt{3}$+2；
（2）∵|PF₁|=2$\sqrt{3}$-2，|PF₂|=2$\sqrt{3}$+2；
∴△F₁PF₂的面积为
S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）（2$\sqrt{3}$+2）=4．

点评 本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了解方程组与求三角形面积的应用问题，是中档题目．