Question

8．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F₁，F₂在y轴上，它的一个顶点为A（$\sqrt{2}$，0），且中心O到直线AF¹的距离为焦距的$\frac{1}{4}$，过点M（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上
（1）求椭圆的标准方程
（2）设|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由于椭圆的一个顶点是A（$\sqrt{2}$，0），故b²=2．根据题意得，∠AF₁O=$\frac{π}{6}$，sin∠AF₁O=$\frac{b}{a}$，即a=2b，a²=8，从而可得椭圆的标准方程
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2），直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：（k²+4）x²-4k²x+4k²-8=0，利用韦达定理，结合|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，即可求动点N的轨迹方程．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
由于椭圆的一个顶点是A（$\sqrt{2}$，0），故b²=2．
根据题意得，∠AF₁O=$\frac{π}{6}$，sin∠AF₁O=$\frac{b}{a}$，
即a=2b，a²=8，
所以椭圆的标准方程是$\frac{{y}^{2}}{8}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-2）．
直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：（k²+4）x²-4k²x+4k²-8=0．
由△=16k²-4（k²+4）（4k²-8）＞0，得-2＜k＜2．
根据根与系数的关系得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，得x₁xx₂=$\frac{4{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$．
又|PM|•|NQ|=|PN|•|MQ|，
即（2-x₁）（x₂-x）=（x-x₁）（2-x₂）．
解得x=1，代入直线l的方程得y=-k，y∈（-2，2）．
所以动点N的轨迹方程为x=1，y∈（-2，2）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．