Question

10．（1）已知cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，且$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$，求cosα；
（2）已知α，β都是锐角，且cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求α+β．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
又cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$．
（2）∵已知α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），∵cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosα•cosβ-sinα•sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式的应用，属于基础题．