Question

12．若抛物线C：y=ax²-1（a≠0）上有不同两点关于直线l：y+x=0对称，则实数a的取值范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．

解答 解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x₀，y₀），
设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-（1+b）=0有两个解．①
∵△=1+4a（1+b）＞0．②
x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，
由中点坐标公式可得，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2a}$，y₀=x₀+b=$\frac{1}{2a}$+b．
∵M在直线L上，
∴0=x₀+y₀=$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2a}$+b，
即b=-$\frac{1}{a}$，代入②解得a＞$\frac{3}{4}$．
故实数a的取值范围（$\frac{3}{4}$，+∞）
故答案为：（$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，考查方程的根与系数关系及方程思想的应用，属于中档题