Question

7．（1）已知x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥5+2$\sqrt{6}$；
（2）已知a，b，c均为正数，求证：$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）将$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$乘以（2x+3y）展开后使用基本不等式即可得出结论；
（2）将左侧的任意两项组合使用基本不等式即可得出结论．

解答 证明：（1）∵2x+3y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+3y）=2+3+$\frac{3y}{x}+\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{2x}{y}}$=5+2$\sqrt{6}$；
当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{2x}{y}$时取等号．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥5+2$\sqrt{6}$．
（2）∵$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}$≥2$\sqrt{\frac{a}{bc}•\frac{b}{ac}}$=$\frac{2}{c}$，$\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}$≥2$\sqrt{\frac{a}{bc}•\frac{c}{ab}}$=$\frac{2}{b}$，$\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}$≥2$\sqrt{\frac{b}{ca}•\frac{c}{ab}}$=$\frac{2}{a}$．
∴2$\frac{a}{bc}$+2$\frac{b}{ca}$+2$\frac{c}{ab}$≥$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{2}{c}$．当且仅当$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ca}=\frac{c}{ab}$时取得等号．
∴$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．

点评 本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．