Question

14．己知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y²=-4x的焦点重合，直线x-y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（I ）求该椭圆C的方程
（II）设点P坐标为（-$\frac{1}{8}$，0），若|PA|=|PB|，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （I）由抛物线的方程，求得焦点坐标，即可求得c，利用点到直线的距离公式，求得椭圆的离心率，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）分类讨论，当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得k的值，求得直线AB的方程．

解答 解：（I）由抛物线y²=-4x焦点F（-1，0），则c=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{丨0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴$所求椭圆C的方程为\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1…（4分）$，
（Ⅱ）若直线AB斜率不存在，即AB：x=-1，满足|PA|=|PB|．
若直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
△=（8k²）²-4（4k²+3）（4k²-12）=9k²+9＞0，
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，
∴由AB中点坐标G（-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），由PG⊥AB，
∴$\frac{\frac{3k}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-（-\frac{1}{8}）}$×k=-1，解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上可知：直线直线AB的方程x=-1或y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆及抛物线的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．