Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R),当x∈［-1,1］时，|f(x)|≤1.

(1)证明|b|≤1;

(2)设g(x)=cx²+bx+a,证明当x∈［-1,1］时，|g(x)|≤2;

(3)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.

Answer 1

(1)证明：∵f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,

    ∴b=［f(1)-f(-1)］.

    ∵当x∈［-1,1］时，|f(x)|≤1,

    ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1.

    ∴|b|=|f(1)-f(-1)|≤(|f(1)|+|f(-1)|)≤1.

    (2)证明：|g(1)|=|f(1)|≤1,|g(-1)|=|f(-1)|≤1,

    当c=0时，|a|=|f(1)+f(-1)|≤［|f(1)|+|f(-1)|］≤1.

    ∴当x∈［-1,1］时，|g(x)|=|bx+a|≤|bx|+|a|≤2.

    当c≠0时，假设存在x∈［-1,1］，使|g(x)|＞2，则抛物线y=g(x)的顶点(x₀,g(x₀))满足|x₀|≤1且|g(x₀)|＞2.

    ∵g(x)=c(x-x₀)²+g(x₀),且|c|=|f(0)|≤1,∴若0≤x₀≤1,则(1-x₀)²≤1.于是|g(x₀)|=|g(1)-c(1-x₀)²|≤|g(1)|+|c|≤1+|c|≤2,这与|g(x₀)|＞2矛盾.若-1≤x₀＜0,则(x₀+1)²≤1.于是|g(x₀)|=|g(-1)-c(1+x₀)²|≤|g(-1)|+|c|≤1+|c|≤2.同样与|g(x₀)|＞2矛盾，于是证得|g(x)|≤2.

    (3)解：由f(0)=-1,f(1)=1,可得c=-1,b=2-a.

    ∴f(x)=ax²+(2-a)x-1.

    ∵x∈［-1,1］时，|f(x)|≤1,

    ∴|f(-1)|≤1,即|2a-3|≤1.

    解得1≤a≤2.考虑实数=-.

    ∵1≤a≤2,∴-≤-＜0,即∈［-1,1］.

    依题意有|f()|=|a()²+(2-a)()-1|≤1,整理得|+1|≤1,注意到a＞0,≥0,+1≥1,

    ∴=0,即a=2.