Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，

当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，

此时函数为增函数；

当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，

此时函数在（﹣1， ]上为减函数，在[ ，+∞）上为增函数；

综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[ ，+∞）

（2）解：当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）= ，

①当﹣a≤﹣1，即a≥﹣1时，

若x∈[﹣2，1]，则f（x）≤0，

若x∈（1，2]，则f（x）＞0，且为增函数，

故g（a）=f（2）=2+a；

②当﹣a≥2且 ≤2，即﹣3≤a≤﹣2时，

g（a）=f（ ）=（ ）2，

③当﹣a≥2且 ＞2，即a＜﹣3时，

g（a）=f（2）=﹣2﹣a，

④当1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1时，

g（a）=max{f（ ），f（2）}=max{（ ）2，2+a}=

综上可得：g（a）=

【解析】（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，分段讨论可得函数的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）= ，分段讨论可得函数f（x）的最大值g（a）的表达式．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．