【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)|x+a|(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[﹣2,2]时,函数f(x)的最大值为g(a),求g(a)的表达式.
【答案】
(1)解:a=1时,f(x)=(x﹣2)|x+1|,
当x≤﹣1时,f(x)=﹣(x﹣2)(x+1)=﹣x2+x+2,
此时函数为增函数;
当x>﹣1时,f(x)=(x﹣2)(x+1)=x2﹣x﹣2,
此时函数在(﹣1, ]上为减函数,在[
,+∞)上为增函数;
综上可得:当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1],[ ,+∞)
(2)解:当x∈[﹣2,2]时,函数f(x)= ,
①当﹣a≤﹣1,即a≥﹣1时,
若x∈[﹣2,1],则f(x)≤0,
若x∈(1,2],则f(x)>0,且为增函数,
故g(a)=f(2)=2+a;
②当﹣a≥2且 ≤2,即﹣3≤a≤﹣2时,
g(a)=f( )=(
)2,
③当﹣a≥2且 >2,即a<﹣3时,
g(a)=f(2)=﹣2﹣a,
④当1<﹣a<2,即﹣2<a<﹣1时,
g(a)=max{f( ),f(2)}=max{(
)2,2+a}=
综上可得:g(a)=
【解析】(1)a=1时,f(x)=(x﹣2)|x+1|,分段讨论可得函数的单调递增区间;(2)当x∈[﹣2,2]时,函数f(x)= ,分段讨论可得函数f(x)的最大值g(a)的表达式.
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知直线l过点P(﹣1,3). (Ⅰ)若直线l与直线m:3x+y﹣1=0垂直,求直线l的一般式方程;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)中直线l的截距式方程,并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.
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【题目】已知向量 =(1,sinθ),
=(3,1).
(1)当θ= 时,求向量2
+
的坐标;
(2)若 ∥
,且θ∈(0,
),求sin(2θ+
)的值.
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【题目】已知命题p:x∈R,cosx=2;命题q:x∈R,x2﹣x+1>0,则下列结论中正确的是( )
A.p∨q是假命题
B.p∧q是真命题
C.(¬p)∧(¬q)是真命题
D.(¬p)∨(¬q)是真命题
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【题目】函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)=x﹣a(0<x<4)的值域为集合B. (Ⅰ)求集合A,B;
(Ⅱ)若集合A,B满足A∩B=B,求实数a的取值范围.
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